利维坦按：

大学时代痴迷于埃舍尔的画作，总是对他作品中的各种几何图案和具象共置于同一空间感到好奇，比如下面这张木版画，能看出埃舍尔对于几何的迷恋：

《星》（Star），1948年。© Flickr

(资料图)

埃舍尔还有很多类似的作品。比如《引力》（Gravitation，1952）是星状十二面体，《双行星》（Double Planetoid，1949）是两个上下重叠的正四面体。埃舍尔很喜欢在正多面体上做文章，通过欧拉定理，我们可以推断出一共有5种正多面体——四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体。这些也就是本文中的柏拉图立体。

© wikimedia

埃舍尔不满足于此，他还利用正多面体的组合、叠加、互嵌等方式构造更多的多面体，有的以后还被命名为埃舍尔多面体。再后来，在网上又看到了达·芬奇绘制的多面体手稿图 （当时还不知道这是为《神圣比例》做的配图） ，真是太喜欢了。

文艺复兴时期，神秘的几何立方体常常萦绕在人们心头，向人们展现了第三维最纯粹的精髓。诺姆·安德鲁斯（Noam Andrews）研究了多面体如何从数学领域进入艺术领域，又如何从抽象的思维凝结成看得见摸得着的实物。

木刻版画《阿基米德》，原作者拉斐尔，复刻者乌戈·达·卡普里（Ugo da Carpi），约1520年。© www.royalacademy.org.uk

阿基米德神色迟疑，凝视着下边立着的一个小斜方截半立方体，似乎这个奇怪的物体从未在自然界中出现过。他的身体通过多块印板以明暗对照法呈现出来，呈现出一种动态的感觉，又在半空中停下，陷入沉思。

在这幅复刻拉斐尔的作品中，乌戈·达·卡尔皮（Ugo da Carpi，1480-1532年）采用对比手法表现人物和几何体，令人赞叹。

小斜方截半立方体象征着理性、有序、非无限，似乎不是这个世界之物。它既代表自身，又代表自身的所有内涵，卡普里便用焦点内外的明暗对比来呈现，仿佛它超脱于真实世界之外。

阿基米德的衣服皱巴巴、乱糟糟，沉浸在这个物件蕴含的深奥知识之中。他左手握着一块白板，犹豫要不要彻底正过身来，好好端详这个多面体。或许，阿基米德觉得，要是真那么做了，它以及它所代表的一切都可能从他的想象中消失。

多面体在西方文化史中是一个神秘的存在，但却又随处可见。它是基本元素的象征，近代早期时主要分为两大类：柏拉图立体，又叫正多面体（规则体，corpor regulata），以及阿基米德立体，又叫半正多面体（不规则体，corpor irregulata），后者可以通过将前者截顶，削角或修裁得出。

世界上只存在五个完全规则和对称的正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，一个不多，一个也不少。在16世纪初的艺术家、数学家和哲学家看来，它们对称、规则、完美，散发着神性的诱人气息，蕴含了从物质基本组成到人体比例再到宇宙结构的一切真理。

透视几何的成熟，使人们更加迫切渴望能够逼真地描绘立方体。根据乔尔乔·瓦萨里（Giorgio Vasari，1511–1574）等人的理论，只有多年严格的艺术训练，才能从事绘画或设计工作，才能充分把“脑海中的想法和概念”体现在纸面上。类似地，要想成功表现出三维形式的柏拉图多面体，就一定要大胆揭开横亘在外在世界与本质世界之间的那层面纱，带着这些可以具象化的杰作凯旋。

柏拉图立体（正六面体和正二十面体）的变形，摘自文策尔·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）《透视法》（Perspectiva Corporum Regularium，1568年）。© wikimedia

星形十二面体（大十二面体），摘自文策尔·雅姆尼策《透视法》（1568年）。© wikimedia

虽然通常来说，文艺复兴在艺术史和建筑史上成就非凡，闪烁着天才的火花，但在科学史和数学史中，文艺复兴将这个世界中原本隐匿的概念、理念冲突推到了前台。在这一时期，人们在黑暗传统中挣扎，才刚刚开始探索和测量新大陆，交流怪异的外来存在，疲于验证最新印刷典籍中的数据集，纠正翻译错误。

早期绘制立方体的尝试打破了先前的历史旧识和学科领域。16世纪最开始的几十年里，一种披着基督教和人文主义外衣的柏拉图主义以其前所未有的复杂性和矛盾性与透视法迎头相撞，由此产生的力量把立方体从欧几里德划时代的几何专著《几何原本》（Elements）中剥离出来，加以重构，成为第三维纯粹而朴素的基元。

中世纪最受欢迎一版《几何原本》出自数学家诺瓦拉的坎帕努斯（Campanus of Novara，约1220-1296年），他重新编写了《几何原本》的早期手稿，其中一些手稿在12世纪时从阿拉伯文翻译成了拉丁文。

1250年左右，坎帕努斯完成了《几何原本》的重写和编撰，并于1482年由德意志人埃尔哈特·罗多德（Erhard Ratdolt ，约1442–1528年）在威尼斯出版，该书首次在欧几里德的数学语言旁配有解释性图表，开创印刷数学书籍先河，因而闻名于世。

《建筑十书》中达·芬奇绘制的维特鲁威的人体比例，这幅由钢笔和墨水绘制的手稿，描绘了一个男人在同一位置上的“十”字型和“火”字型的姿态，并同时被

分别嵌入到一个矩形和一个圆形当中。1490年左右。© ResearchGate

维特鲁威（Vitruvius）的《建筑十书》（De architectura）在15世纪被重新发现时也是一份没有插图的手稿，出版商们配上插图后大卖。同他们一样，罗多德肯定也清楚地知道给经典作品加上插图之后的巨大商机。不过，《几何原本》与《建筑十书》又有很大不同，后者对建筑的细致描述本就给后续艺术加工留下了足够的空间，而要想精确构筑《几何原本》中提到的图形，就必需完全正确地理解其中的所有数学术语和相关说明。这个过程无疑相当痛苦。

欧几里德《几何原本》首页，埃尔哈特·罗多德版本（1482）的副本，现藏于多伦多大学托马斯·费希尔图书馆。© www.maa.org

罗多德所设想的立方体绘图类似于任何近代数学教科书中都能看到那种图解，但操作中却在三维上面犯了难。立方体具象化主要遇到了三大阻碍，首先，欧几里德的终版著作晦涩难懂，其次，木版印刷的机械制作基于的是一种新兴技术，最后，三维几何将如何在二维纸张上呈现。

欧几里德《几何原本》，埃尔哈特·罗多德版本（1482），该特别副本来自慕尼黑，1484年由罗多德捐赠给奥格斯堡的加尔默尔修道会，藏于巴伐利亚州立图书馆。该页内容试图描述三维图形。© www.loc.gov

此前也曾有人尝试过用透视法来描绘多面体，最著名的是保罗·乌切洛（Paolo Uccello，约1397-1475年），他在威尼斯圣马可大教堂的大理石地板上创作了（小）星形十二面体。

不过，第一本讲述利用透视原理创作多面体的出版作品是卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的《神圣比例》（De divina proportione，1509）。虽然这本书中的图画还有很大进步空间，但它的出版的的确确激发了人们对如何将几何图形可视化的兴趣。

同时，《神圣比例》也反映了应用透视法绘制多面体时面临的困难。埃尔哈特·罗多德《几何原本》的前两个版本因为列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）等人的生动彩色插画而夺人眼球，但木版印刷出来的多面体相当粗糙，有很多杂乱无章的实线和不知所谓的阴影。

以其中具有代表性的一个图案为例（如上图），虚线代表了正八面体最左面上的侧光，它和正八面体两块深色面上不均匀分布的阴影差异明显，深色阴影没有达到艺术家预期的三维效果。同样，在“Octaedron elevatum solidum（直译为‘凸起的八面体’，如下图）”中，（为了描绘出投影）实线表达的投影与表达侧光的虚线出现在同一个面上。

创作者采用了有限的纹理（虚线，实线和空白）绘制了这些早期图案，显然还不够成熟，他试图赋予每个立方体生命，但却没能够掌握阴影投射在物体上的技巧。在几何学和几何图形之间，图像描述的不可靠性已经暴露出它们对数学知识传播的普遍影响。

列奥纳多·达·芬奇或其团队为卢卡·帕乔利著作《神圣比例》所作插图，截面二十面体（ycocedron abscisus vacuus）和七十二边球体（eptvaginta dvarvm basivm vacvvm），完稿于米兰，约1496-1498年。© archive.org

意大利文艺复兴时期，透视艺术占据重要地位，人们越来越渴望描绘真实世界。虽然要读懂欧几里德关于三维构造的解释需要破解卷帙浩繁的极具专业性的拉丁文，但在视觉这一理解几何知识的全新领域中，艺术家和几何学家可以大有作为。

随着《神圣比例》的流行，柏拉图立体的实物模型在文艺复兴时期的书房中随处可见，特别是应用于几何透视学教学中。虽然那个时期的实物模型很少留存下来，但在有关文艺复兴时期学者和艺术家的文字记载和各种视觉作品中，偶尔能看到这些模型，因此也就能让今人一探究竟。

维托雷·卡尔帕乔（Vittore Carpaccio，1460–1520年）一张学者速写中就出现了几个挂在工作区上方绳子上的多面体，有可能是星盘、天体仪，或者就是柏拉图立体的模型。学者左手拿着一本书，右手拿着一个圆规，或许正在透过开着的窗户观察他正在测量的天象。

勒内·笛卡尔的同事、来自德国乌尔姆的数学家约翰内斯·福尔哈贝（Johannes Faulhaber，1580–1635年），在其《新几何论》（Newe geometrische vnd perspektiuische Inuentiones，1610年）中也出现了类似的图案，画中清晰地显示出书房门上方用钩子悬挂着几个柏拉图立方体，下方一位男子正在绘制一个立方体的透视图。福尔哈贝将这些立方体和直尺、星盘和圆规一样视作测量工具必不可少的一部分，以丢勒画风将它们定格，用阴影突出了表面；桌上的参考书打开着，其中一页画着一个透视四面体，另一页是一个普通的建筑图形。

约翰内斯·福尔哈贝，《新几何论》，1610年，几个柏拉图立方体悬挂在书房上方。© digitalcollections.nypl.org

在绘画中出现参考书并不罕见，但乔万尼·雅各布·卡拉格里奥（Giovanni Jacopo Caraglio，约1500/1505-1565年）复刻的帕尔米贾尼诺（Parmigianino，1503–1540年）的画作《第欧根尼》（Diogenes）中加入了更深层的学术质疑——这种做法可能会引发讨论。

版画《第欧根尼》，作者乔万尼·雅各布·卡拉格里奥，原画作者帕尔米贾尼诺。© www.metmuseum.org

在这幅铜版画中，古希腊哲学家第欧根尼一边指着一个正十二面体的印刷图，一边看向一本打开着的参考书，书背朝外，看不见内容。印着正十二面体的这本书可推测出是帕乔利的《神圣比例》，而那本立着的书就很难看出书名了，但根据尺寸，或许是最新出版的带有罗多德配图的《几何原本》。

第欧根尼用木棍指着帕乔尼的书，无意中可能揭示了罗多德版本的配图不够完善：《神圣比例》中描绘的透视图相对来说更加清晰，有助于理解立方体的存在。

在以数学研究为场景的肖像画中，主人公手持、挥动、轻拿或用力抓住木棍或圆规的意象引入了一层教导的色彩。无论是形象上还是隐喻上，木棍都暗示了先天天赋和后天培养之间还有距离，需要有人进行指导、教育和责罚。在木棍的指点下，观者被吸引到知识的表演中，成为知识传播的见证者。另外两幅手持木棍的著名人物画像进一步说明了多面体是如何在获取知识的过程中发挥作用的。

在德巴尔巴里（de’ Barbari）的《帕乔利肖像》（Portrait of Luca Pacioli）中，这位数学家身着方济会的斗篷，光彩照人，他专注地盯着一个悬挂着的玻璃小斜方截半立方体，里面盛着一半的水，既突出了容器的体积，又显示出德巴尔巴里的透视绘画技巧。

帕乔利两只手都在无意识地勾勒相同的物体轮廓：右手拿着粉笔画的在一个圆圈里的四面体，左手指着罗多德版《几何原本》中相应的文字描述。帕乔利身侧是一位贵族学徒或学生，他的目光斜视着观者，引导视线汇聚到帕乔利桌子上放着的一个木质正十二面体模型上：

无独有偶，尼古拉斯·德纽夏特（Nicolas de Neufchâtel，约1524-1567年）的画作《纽伦堡书法大师约翰·诺伊德费尔与他的学生》（Der Nürnberger Schreibmeister Johann Neudörffer mit einem Schüler，1561年）中描绘了“书法大师”诺伊德费尔正聚精会神地看着一个木质正十二面体框架模型的顶点。在他的左边，一名学生正在记笔记，很可能是在尝试画出正十二面体。在他们俩的身后悬挂着一个木质正六面体，顶点朝上。再仔细观察一下这幅画，这个正六面体似乎是挂在诺伊德费尔书房后墙的一颗突出的钉子上。等诺伊德费尔用完正十二面体后，他或许也会把它挂在正六面体旁边。

这两个手持木棍的场景都发生在书房或者工作室这样的空间里，画家都有意把背景涂暗，以突出主角的活动。不同于卡尔帕乔或者福尔哈贝，或其他同时代绘画工作室内容的画家，德巴尔巴里和德纽夏特使用了朴素且深邃的背景以确保他们的绘画传递出教育意象，而非简单地对日常数学实验的描绘。所有其他多余的部分都被抹去，以突出教学和学习的主要内容。绘画中的多面体既似真实存在，又似一场虚幻，体现了一种介于内心想象和实在物体之间的双重现实。

尼古拉斯·德·纽夏特，《纽伦堡书法大师约翰·诺伊德费尔与他的学生》，1561年。© wikimedia

模型有助于理解古希腊几何原理并绘制立体图形。但如果多面体的存在是为了阐明欧几里德的原理，则主要出现在欧几里德《几何原本》的印刷版以及帕乔利《神圣比例》的图示中，艺术家或者数学家在书房或者工作室里研究的时候会参考。

反过来，这些印刷图案也开始发挥自己的作用。例如，弗拉·乔瓦尼·达维罗纳（Fra Giovanni da Verona）在锡耶纳附近蒙特·奥利维托·马焦雷（Monte Olivetto Maggiore）的修道院以及在维罗纳·奥加纳的圣玛丽亚教堂中所做的细木镶嵌装饰上（二者均完工于1520年，下图）就出现了一个七十二面球体，一个正二十面体，一个削顶的正二十面体，两个小斜方截半二十面体，一个八面体，以及一个每一面都附有等边正四面体的正六面体，这些立方体都出自《神圣比例》一书。

上述作品中的精湛技巧掩盖了16世纪头几十年里多面体几何所遇到困境。当时，不是所有人都认为研究几何相关资料是有意义的。对于瓦萨里来说，当几何透视成为绘画的主要目的，甚至比绘画整体的表现感更加重要时，这种避重就轻的做法所花费的精力和时间往往会让艺术家陷入悲伤的境地。

尽管这些（立方体）巧妙而美丽，但如果一个人过分追求它们，他将一无所得，只会浪费时间和精力，让自己陷入难题中，并经常将它的富饶和乐趣变成贫瘠和束缚……更不用说他时常感到孤独、变得古怪和忧郁，且困于贫穷之中。

或许正是这种追求让丢勒（Dürer）《忧郁I》中的天使感到忧郁。天使是这幅画中的标志性人物，也是艺术史上最著名但又难以捉摸的形象之一，她的姿势暗示了协调抽象几何知识世界和具体现实的物体、模型以及想象难如登天。

这幅画不易解读，它通过一系列让人感到压抑的象征性物品——魔方、饥饿的狗、抓着刻有标题木板的蝙蝠、散落的工具，隐喻了当时人们封闭的精神世界。《忧郁I》凭借其绘画物体的密度，自我参照模糊的迷宫式结构，因而独树一帜。它试图通过中介传递丢勒精湛的绘画技术，同时也或多或少反映了他的内心世界，其极度精确性和巧思为观者打开了一扇窗，让我们透过画作本身，看到了作者记忆和迷失的原初场景。

《忧郁I》引发了人们各种各样的解读，但其中最核心的讨论还是围绕几何在描述世界和艺术家自我理解方面的局限性。图中的女子正在进行测量，周围摆布着象征传统几何的物品，画中大约中部位置能看到一个削顶的菱形六面体，将前景和消失在地平线上的平静大海分隔开，显然，这片海正是人物想要测量区域。

丢勒的作品使得讽喻主题绘画名声大噪， 自此之后，维吉尔·索利斯（Virgil Solis），亚伯拉罕·布洛马尔特（Abraham Bloemaert），乔瓦尼·贝内代托·卡斯蒂利奥内（Giovanni Benedetto Castiglione）以及汉斯·塞巴德·贝哈姆（Hans Sebald Beham，1500-1550年）等都有类似作品。

其中汉斯·塞巴德·贝哈姆的作品《忧郁》（Melancholia，1539年）中出现了一个球体，工作室工具，还有一个正在摆弄圆规的魁梧女人，脸上的表情传递出一种默认的态度。然而，除了安特卫普艺术家约翰内斯·维里克斯（Johannes Wierix，1549-1615年）的《忧郁I》（Melencolia I, 1602）摹本外，1514年原作中的不规则立方体总是被有意识地忽略。

多面体的视觉历史充斥着错误的开始，痛苦的失败，以及无法传递主题思想的表征。在绘画作品中时常出现多面体，绘画手法或精湛或生疏，但艺术家们总体上逐渐熟悉了多面体，并且不必知道欧几里得数学原理的所有细节。

这种熟悉程度要归功于其复制品的技术，因此也要归功于对于图画的质疑，这标志着文艺复兴时期出现了与一成不变的古典模式截然不同的学习和思考方式。

尽管欧几里德由抽象的、理想化的参量得出绝对准确性，多年来被奉为圭臬，但当人们试图将数学概念具象化而让一般大众也能理解时，却产生了与直觉相悖的情况，比如在将几何和神学推理运用到美学领域时，线条的形态、印刷品插图的可靠性，最重要的是透视和判断的运用都产生了不符合预想的情况。

虽然这些矛盾一直存在于“思辨科学”中，但在此之前，几何学文字说明和图像表示之间的差距还没有被如达芬奇和丢勒等艺术家们感知到，更不用说德巴尔巴里和德纽夏特了。

在有厚度的三维空间中构造完全现实存在的立方体，而非仅仅平面图形，这种生疏感值得我们去探讨。将哲学概念引入有形事物巩固了以眼见为实为基本需求的思维模式。几何学“神圣本质”的根基已松动，自文艺复兴后，理性和思维将继续成为几何学中一道无法抹去的颜色。

文/Noam Andrews

译/Rachel

校对/Muhi、瘦竹与腐竹

本文基于创作共享协议（BY-NC），由Rachel在利维坦发布

文章仅为作者观点，未必代表利维坦立场

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